INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES: mayo 2012

MÉTODO SIMPLEX – INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES

EJERCICIO PROPUESTO – EL MÉTODO DE LA “M”

MINIMIZAR

Z = 4X1 + X2

SUJETO A:

3X1 + X2 = 3

4X1 + 3X2 >= 6

X1 + 2X2 <= 4

X1, X2 >= 0

SOLUCIÓN

PASO 1

IGUALAR RESTRICCIONES

TENIÉNDOSE EN CUENTA LO SIGUIENTE:

>= è +R, -S

<= è +S

= è +R

ENTONCES:

3X1 + X2 + R1 = 3

4X1 + 3X2 + R2 -S1 = 6

X1 + 2X2 + S2 = 4

PASO 2

PARA NUESTRA FUNCIÓN OBJETIVO

M è MAX = -

M è MIN = +

ENTONCES:

Z = 4X1 + X2 + MR1 + MR2

PASO 3

IDENTIFICAMOS NUESTRAS VARIABLES BÁSICAS Y NO BÁSICAS

VARIABLES BASICAS	VARIABLES NO BASICAS
R1 = 3	X1 = 0
R2 = 6	X2 = 0
S2 = 4	S1 = 0

PASO 4

EXPRESAR LA FUNCIÓN EN VARIABLES BÁSICAS

Z = 4X1 + X2 + MR1 + MR2

SE TIENE (DE LAS RESTRICCIONES):

3X1 + X2 + R1 = 3 4X1 + 3X2 + R2 + S1 = 6

DESPEJANDO:

R1 = 3 – 3X1 – X2 R2 = 6 – 4X1 – 3X2 + S1

SUSTITUYENDO EN LA FUNCIÓN OBJETIVO:

Z = 4X1 + X2 + M(3 – 3X1 –X2) + M(6 – 4X1 -3X2 + S1)

SE OBTIENE:

Z - (4 – 7M)X1 - (1 – 4M)X2 + MS1 = 9M

PASO 5

REALIZAR NUESTRA TABLA BÁSICA INICIAL

	Z	X1	X2	R1	R2	S1	S2	SOL
Z	1	-4 + 7M	-1 + 4M	0	0	-M	0	9M
R1	0	3	1	1	0	0	0	3	3/3 = 1
R2	0	4	3	0	1	-1	0	6	6/4 = 1,5
S2	0	1	2	0	0	0	1	4	4/1 = 4

ENCONTRAMOS NUESTRO VALOR PIVOTE QUE ES “3”

PASO 6

NUESTRA ECUACIÓN PIVOTE SERIA:

E.P. = 0, 1, 1/3, 1/3, 0, 0, 0, 1

SE HALLA DIVIDIENDO LOS VALORES SALIENTES ENTRE EL PIVOTE

PASO 7

ENCONTRAMOS LOS NUEVOS VALORES DE LA TABLA:

PARA: Z

Z 1 (- 4 + 7M) (- 1 + 4M) 0 0 -M 0 9M

-(-4+7M)*E.P. 0 (4–7M) (4–7M)/3 (4-7M)/3 0 0 0 (4-7M)

RESULT. (Z) 1 0 (1+5M)/3 (4-7M)/3 0 -M 0 4+2M)

PARA: R2

R2 0 4 3 0 1 -1 0 6

-(4)*E.P. 0 -4 -4/3 -4/3 0 0 0 -4

RESULT. (R2) 0 0 5/3 -4/3 1 -1 0 2

PARA S2

S2 0 1 2 0 0 0 1 4

-(1)*E.P. 0 -1 -1/3 -1/3 0 0 0 -1

RESULT. (S2) 0 0 5/3 -1/3 0 0 1 3

PASO 8

REALIZAMOS NUESTRA NUEVA TABLA

	Z	X1	X2	R1	R2	S1	S2	SOL
Z	1	0	(1+5M)/3	(4-7M)/3	0	-M	0	4+2M
R1	0	1	1/3	1/3	0	0	0	1
R2	0	0	5/3	-4/3	1	-1	0	2
S2	0	0	5/3	- 1/3	0	0	1	3

COMO EN Z ENCONTRAMOS EL VALOR 4 + 2M; TENEMOS QUE REALIZAR UNA NUEVA TABLA PARA DARLE EL VALOR A Z.

PASO 9

ENCONTRAMOS NUESTRA ECUACIÓN PIVOTE

E.P. = 0, 0, 1, -4/5, 3/5, -3/5, 0, 6/5

ENCONTRAMOS LOS NUEVOS VALORES

PARA: Z

Z 1 0 (1+5M)/3 (4-7M)/3 0 -M 0 (4+2M)

-(1+5M)/3*E.P. 0 0 (-1-5M)/3 (9+20M)/15 (-1+5M)/5 (1-5M)/5 0 (-6-30M)/5

RESULT. (Z) 1 0 0 (16-55M)/15 (1+5M)/5 1/5 0 18/5

PARA: X1

X1 0 1 1/3 1/3 0 0 0 1

-(1/3)*E.P. 0 0 -1/3 4/15 -1/5 1/5 0 -2/5

RESULT. (X1) 0 1 0 3/5 -1/5 1/5 0 3/5

PARA: S2

S2 0 0 5/3 -1/3 0 0 1 3

-(5/3)*E.P. 0 0 -5/3 4/3 -1 1 0 -2

RESULT. (S2) 0 0 0 1 -1 1 1 1

PASO 10

REALIZAMOS NUESTRA NUEVA TABLA

	Z	X1	X2	X1	X2	S1	S2	SOL.
Z	1	0	0	(16-5M)/15	(-1+5M)/5	1/5	0	18/5
X1	0	1	0	3/5	- 1/5	1/5	0	3/5
X2	0	0	1	- 4/5	1 2/3	-1 2/3	0	6/5
S2	0	0	0	1	-1	1	1	1

COMPROBAMOS NUESTRO MÉTODO SIMPLES TIPO “M”

Z = 18/5

X1 = 3/5

X2 = 6/5

Z = 4X1 + X2

18/5 = 4(3/5) + 1(6/5)

18/5 = 12/5 + 6/5

18/5 = 18/5

MÉTODO SIMPLEX – INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES

EJERCICIO PROPUESTO

MAXIMIZAR

Z = 10X1 + 20X2

SUJETO A:

4X1 + 2X2 <= 20

8X1 + 8X2 <= 20

2X2 <= 10

SOLUCIÓN

PASO 1.

IGUALAMOS LAS RESTRICCIONES, AGREGANDO VARIABLE HOLGURA:

4X1 + 2X2 + X3 = 20

8X1 + 8X2 + X4 = 20

2X2 + X5 = 10

NUESTRA FUNCIÓN OBJETIVO TAMBIÉN LA IGUALAMOS

Z - 10X1 - 20X2 = 0

PASO 2.

HACEMOS NUESTRA TABLA BÁSICA O INICIAL

				V.E.
	VARABLES BASICAS	Z	X1	X2	X3	X4	X5	LD
	X3	0	4	2	1	0	0	20	20/2 = 10
V.S.	X4	0	8	8	0	1	0	20	20/8 = 5/2
	X5	0	0	2	0	0	0	10	20/2 = 10
	Z	1	-10	-20	0	0	1	0

ENCONTRAMOS NUESTRA VARIABLE PIVOTE QUE ES “8”

PARA REALIZAR NUESTRA NUEVA TABLA TENEMOS ENCONTRAR LOS VALORES CALCULANDO CON NUESTRA FILA PIVOTE QUE ES:

F.P. = 0, 1, 1, 0, 1/8, 0, 5/2

ESTA HA SIDO CALCULADA DE LAS VARIABLES SALIENTES ENTRE LA CIFRA PIVOTE QUE ES “8”

PASO 3.

FORMULA: R. = FILA VIEJA - (C. PIVOTE * F.P.)

PARA: X3

FILA VIEJA 0 4 2 1 0 0 20

C. PIVOTE 2 2 2 2 2 2 2

F.P. 0 1 1 0 1/8 0 5/2

R.X3 0 2 0 1 -1/4 0 15

PARA: X5

FILA VIEJA 0 0 2 0 0 1 10

C. PITOVTE 2 2 2 2 2 2 2

F.P. 0 1 1 0 1/8 0 5/2

R.X5 0 -2 0 0 -1/4 1 5

PARA: Z

FILA VIEJA 1 -10 -20 0 0 0 0

C. PIVOTE -20 -20 -20 -20 -20 -20 -20

F.P. 0 1 1 0 1/8 0 5/2

R.Z 0 10 0 0 5/2 0 50

PASO 4.

COLOCAMOS LOS RESULTADOS EN NUESTRA NUEVA TABLA:

VARABLES BASICAS	Z	X1	X2	X3	X4	X5	LD
X3	0	2	0	1	- 1/4	0	15
X2	0	1	1	0	1/8	0	5/2
X5	0	-2	0	0	- 1/4	0	5/2
Z	0	10	0	0	5/2	0	50

PASO 5.

COMPROBANDO

X2 = 5/2

X1 = 0

Z = 50

Z = 10X1 + 20X2 è Z = 10(0) + 20(5/2)

Z = 50

GRÁFICO EN GLP

INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES

viernes, 25 de mayo de 2012

EJERCICIO CON MÉTODO "M" - RONALD ROMERO ORTEGA